一、初等函数在其定义域内是什么
初等函数在定义域内不一定连续。
初等函数在其定义区间连续，而函数的定义区间与函数的定义域并不完全相同，因为函数的定义域有时是由一些离散的点及一些区间构成的，对于定义域的这些孤立的点，根本谈不上函数的连续问题，而只能在定义域的区间上讨论连续*，这些区间，我们称之为函数的定义区间，初等函数在其定义域的区间（即定义区间）上是连续的。
连续函数的相关定理：
1、闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
2、闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得*大值和*小值。证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
3、若f(a)=a，f(b)=b，且a≠b。则对a、b之间的任意实数c，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=c。闭区间上的连续函数在该区间上必定取得*大值和*小值之间的一切数值。
4、闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间i上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在i上是一致连续的。
二、***初等函数在其定义域内必连续***的说法是对是错***为什么
是对的。
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。
初等函数，只是在定义域和定义区间内一定连续。没说一定可导。
例如f（x）=x的3次方跟，这个初等函数，在x=0点处连续，但不可导。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。
三、初等函数在定义域内一定连续吗
初等函数在其定义域内不一定连续。初等函数的定义域可以是一个或多个区间或开区间，而在这些区间内，如果初等函数的图像可以被连成一条无间断的曲线，那么初等函数就是连续的。如果函数在某个点处的*限值存在但与该点处的函数值不相等，那么该点就是不连续点，这种不连续点被称为间断点，那么初等函数就是不连续的。